Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage sich selbständig mit Fragestellungen aus dem Bereich der Konvexgeometrie auseinanderzussetzen. Damit werden insbesondere Voraussetzungen für die spätere Abfassung einer Masterarbeit geschaffen. 

Konvexe Kegel spielen eine zentrale Rolle in verschiedenen Gebieten der Mathematik, von der Opitimierung bis hin zur algebraischen Geometrie. Im Seminar soll es um die geometrischen Eigenschaften konvexer Kegel im Euklidischen Raum gehen, dabei orientieren wir uns an dem kürzlich erschienenen Buch Convex Cones: Geometry and Probability von Rolf Schneider. Es umfasst unter anderem die folgenden Themen:

• Winkel von Polyedern als Funktionale ihrer Normalen-/Tangentenkegel
  Das führt zu den Brianchon-Gram-Sommerville Beziehungen, d.h. zu Winkelsummensätzen für hoch-dimensionale Polyeder.
• Intrinsische Volumen und Quermaßintegrale von konvexen Kegeln
  Das sind spannende Varianten der entsprechenden Konzepte für konvexe Körper, die einen vielversprechenden Zugang zu offenen Fragen in der sphärischen Geometrie darstellen.
• Bewertungen von konvexen Kegel
  Dabei geht es in erster Linie um die Frage nach der Charakterisierung der konischen intrinsischen Volumen als stetige SO(d)-invariante Bewertungen im Sinne des klassischen Hadwiger Theorems.
• Zufällige zentrale Hyperplane Arrangements
  Endlich viele Hyperebenen durch den Ursprung zerlegen den Raum in polyedrische Kegel. Sind die Ebenen zufällig gewählt, führt die Integralgeometrie der intrinsischen Volumen der resultierenden Kegel zu interessanten Ergebnissen in der stochastischen Geometrie.
• Co-Konvexe Körper
  Das sind Komplemente spezieller konvexer Mengen in spitzen Kegeln, die z.B. in der hyperbolischen Geometrie auftauchen. Solche Mengen lassen sich auf natürliche Weise addieren, was zu einer starken Brunn-Minkowski Ungleichung in diesem Setting führt.

Suggested Topics from the book:

• Section 1.9 A characterization of polarity. This section essentially contains one difficult (but self-contained) proof that characterizes the polarity operations on non-planar cones as an inclusion-reversing involution. It would be awesome to summarize the proof so that the geometric intuition (if any?) becomes evident!
• Section 2.2 Angles. ... where the Brianchon-Gram-Sommerville relations are proven. It heavily builds on Sections 1.7 and 2.1 but, should be accessible without prior knowledge.
• Leo Brauner: Sections 2.3&2.4 Intrinsic volumes for polyhedral cones. It contains the definition of polyhedral intrinsic volumes and so-called Grassman-angles (dual to quermass integrals), as well as first relations among the intrisic volumes, their behaviour under polarity and also a Guass-Bonnet formular for polyhedra. Some intuition from the theory of polytopes might help, but it is understandable and interesting on its own. The intrinsic volumes are crucial for the rest of the book up to Chapter 7, so this topic should be covered by someone.
• Yinxiang Hu: Section 3.4 Inequalities in spherical space. Spherical isoperimetric and Blaschke-Santalo inequality. Quite geometric but not too technical.
• Yinxiang Hu: Section 3.3 Valuations on the sphere. Deals with the problem of characterizing intrinsic volumes as continuous SO(d)-invariant valuations on the class of convex cones. This is a very interesting and very open problem. The book contains a partial result in the form of Theorem 3.3.2. In a talk, it might be interesting to give some context beyond Schneider's book.
• Paul Strasser: Section 5.1 (Non-generic) central hyperplane arrangements. It uses the so-called characteristic polynomial, a combinatorial invariant, in order to describe not only the number of k-cones in a d-dimensional hyperplane arrangenment but also their intrinsic volumes. This section uses some poset theory and is best-suited for someone who enjoys combinatorics.
• Section 5.2 Absorption probabilities. Here the probability that a random process "absorbs" the origin is computed. The arguments are really nice and rather elementary. Maybe the section is a bit short on its own. One could spice up the talk by including asymptotic results from Section 6.5.
• Intersections of random cones. Uses the kinematic formular (Section 4.3) for spherically intrinsic volume in order to compute the probability that two random cones have a non-zero intersection. The kinematic formular gives results for the case where one cone is fixed and the other is a random rotation of a fixed cone. More sophisticated random models are treated in Sections 5.3 to 5.6. This is certainly enough for two speakers. It might be hard without prior knowledge in convex and/or integral geometry. 
• Oscar Ortega Moreno: Sections 6.3 to 6.4. High-dimensional phenomena. Deals with exciting threshold phenomena for random hyperplane arrangements as the dimension grows to infinity. 
• Jacopo Ulivelli: Chapter 7. Coconvex sets. Deals with the geometry of (complements of) convex sets within a pointed cone. A lot of questions from classical convex geometry carry over to this setting, such as  e.g. a Brunn-Minkowski type inequality for the volume (which is particularly difficult if the complements in question are unbounded), or a classification of surface area measures. This section can be done by more than 1 person. Background in convex geometry will be helpful.

Anleitung zu eigenständiger Literaturrecherche und Darstellung mathematischer Sachverhalte. Feedback zur mündlichen Präsentation. Individuelle Besprechungen mit dem Betreuer oder der Betreuerin.

Prüfungsimmanent