Nach positiver Absolvierung der Lehrveranstaltung sind Studierende in der Lage grundlegende Techniken und Begriffe, die in der Theorie der geometrischen Flüsse vorkommen, anzuwenden. Zu diesen Techniken gehört das Maximumprinzip, Monotonie/Entropie-Formel, Harnack-Abschätzungen, sogenannte ancient solutions und Singularitätsmodelle.
In dieser Vorlesung werden wir eine geometrische Wärmeleitungsgleichung untersuchen, die "curve shortening flow (CSF)" genannt wird. Sei eine einfach geschlossene Kurve in der Euklidischen Ebene gegeben. Der CSF ist ein zeitabhängiger Prozess, der die Kurve verändert, indem Punkte normal zur Kurve mit einer Geschwindigkeit proportional zur Krümmung bewegt werden; Punkte, bei denen die Kurve konvex ist, werden nach innen bewegt, und Punkte, bei denen die Kurve konkav ist, nach aussen. Ein berühmtes Resultat von Grayson besagt, dass CSF jede einfach geschlossene Kurve in einen "runden" Punkt überführt; d.h., die reskalierte Lösung konvergiert gegen einen Kreis, wenn der Zeitparameter gegen den maximalen Parameter konvergiert, bei dem noch Lösungen existieren. In der Vorlesung werde ich einen Beweis dieses Satzes präsentieren und dabei werden die grundlegenden Begriffe der Theorie der Krümmungsflüsse wie das Maximumprinzip, Singularitäten, Harnack-Abschätzungen sowie Entropie-und Monotonie-Abschätzungen präsentiert.
Vorbesprechung via Zoom:
Time: Mar 7, 2023 11:00 AM Vienna
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